Úvod do logiky

Logika, z klasického řeckého λόγος logos (slovo), je studium principů a kritérií platné inference a demonstrace.

Logika jako formální věda zkoumá a klasifikuje strukturu výroků a argumentů, a to jak studiem formálních systémů odvozování, tak studiem argumentů v přirozeném jazyce. Rozsah logiky je proto velký, od stěžejních témat, jako je studium omylů a paradoxů, přes specializované analýzy uvažování pomocí pravděpodobnosti až po argumenty zahrnující kauzalitu. Logika se dnes běžně používá také v argumentační teorii.

Logika se tradičně studuje jako obor filozofie, jedna z částí klasického trivia, které se skládalo z gramatiky, logiky a rétoriky. Od poloviny devatenáctého století se formální logika studuje jako základ matematiky. V roce 1903 Bertrand Russell a Alfred North Whitehead založili logiku jako základní kámen matematiky publikací Principia Mathematica. Vývoj formální logiky a její implementace v výpočetním stroji jsou základy informatiky.

Zásadní pojem formy je ústředním tématem diskusí o povaze logiky a komplikuje výklad, že „formální“ ve „formální logice“ se běžně používá nejednoznačným způsobem. Symbolický jazyk je vlastně druhem formální logiky a odlišuje se od jiné třídy formální logiky, tradiční aristotelovské syllogistické logiky, která se zabývá výhradně kategorickými propozicemi.

„Formální logika“ je velmi často používána s alternativním významem symbolické logiky, zatímco neformální logika je jakékoli logické zkoumání, které nezahrnuje symbolickou abstrakci; je to právě tento smysl pro „formální“, který je paralelní s přijatými zvyklostmi pocházejícími z „formálních jazyků“ nebo „formální teorie“.

Zatímco formální logika je stará, datuje se více než dvě tisíciletí, většina symbolické logiky je poměrně nová a vzniká při aplikaci poznatků z matematiky na problémy v logice. Obecně platí, že symbolická logika je zachycena formálním systémem, který zahrnuje formální jazyk včetně pravidel pro vytváření výrazů v jazyce a soubor pravidel odvozování. Výrazy budou normálně zamýšleny tak, aby představovaly tvrzení, která nás mohou zajímat, a podobně pravidla odvozování představují závěry; takové systémy mají obvykle zamýšlený výklad.

Formální systém má axiomy. Axiom je věta, která je v systému vždy pravdivá. Například mnoho systémů má jako axiom: „Jestliže P znamená Q a P je případ, pak Q je případ.“ Abychom se shodli s axiomy, systém bude mít speciální pravidlo odvození, nazývané 'pravidlo substituce'. Říká, že z jakéhokoliv axiomu můžete odvodit větu, která je mu podobná, s tím rozdílem, že jiné věty byly nahrazeny za 'P' a 'Q'. Například z výše uvedeného axiomu můžeme odvodit následující: „Jestliže R&S znamená, že T nebo U, a R&S je případ; pak je to případ, že T nebo U.“ (To předpokládá, že „R&S“ a „T nebo U“ jsou výrazy ve formálním systému.) Většina formálních systémů má buď bohatou sadu pravidel odvození, ale málo axiomů nebo žádné; nebo bohatou sadu axiomů, ale pouze derivační pravidlo substituce.

Věty, které jsou odvozeny pomocí axiomů systému a pravidel odvození, se nazývají věty.

Konzistence, spolehlivost a úplnost

Existují tři cenné vlastnosti, které formální systémy mohou mít:

Ne všechny systémy dosahují všech tří předností. Kurt Gödel dokázal, že systém s dostatkem axiomů a/nebo pravidel odvození, aby mohl odvodit principy aritmetiky, nemůže být zároveň konzistentní a úplný. Těmto věcem se říká Gödelovy věty o neúplnosti.

Významné rodiny formálních systémů

Formální logika zahrnuje širokou škálu logických systémů. Různé systémy logiky diskutované níže zahrnují termínovou logiku, predikátovou logiku, výrokovou logiku a modální logiku a formální systémy jsou nepostradatelné ve všech oborech matematické logiky. Tabulka logických symbolů popisuje různé široce používané notace v symbolické logice.

Soupeřící pojetí logiky

Logika vznikla (viz níže) z obavy o správnost argumentace. Pojetí logiky jako studia argumentace je historicky fundamentální a bylo to, jak o logice uvažovali zakladatelé odlišných tradic logiky, jmenovitě Platón, Aristoteles, Mozi a Aksapada Gautama. Moderní logici si obvykle přejí zajistit, aby logika studovala jen ty argumenty, které vyplývají z patřičně obecných forem dedukce; tak například Stanfordova encyklopedie filozofie říká o logice, že „však nezahrnuje dobré uvažování jako celek. To je práce teorie racionality. Spíše se zabývá dedukcemi, jejichž platnost lze vysledovat až k formálním rysům reprezentací, které jsou do této dedukce zapojeny, ať už jde o lingvistické, mentální nebo jiné reprezentace“ (Hofweber 2004).

Naproti tomu Immanuel Kant představil alternativní myšlenku, co je to logika. Tvrdil, že logika by měla být pojata jako věda o úsudku, což je myšlenka převzatá v logickém a filozofickém díle Gottloba Fregeho, kde je myšlení (německy: Gedanke) nahrazeno úsudkem (německy: Urteil). Na tomto pojetí platné závěry logiky vyplývají ze strukturálních rysů úsudků nebo myšlenek.

Občas se člověk setká se čtvrtým pohledem na to, o čem je logika: je to čistě formální manipulace se symboly podle nějakých předepsaných pravidel. Toto pojetí lze kritizovat na základě toho, že manipulace jen jakéhokoli formálního systému obvykle není považována za logiku. Takové účty obvykle vynechávají vysvětlení toho, co je na určitých formálních systémech, které z nich dělají logické systémy.

Vztah k jiným vědám

Logika souvisí s racionalitou a strukturou pojmů, a tak se do jisté míry překrývá s psychologií. Logika je obecně chápána tak, že popisuje uvažování preskriptivním způsobem (tj. popisuje, jak by mělo uvažování probíhat), zatímco psychologie je popisná, takže překrývání není tak výrazné. Gottlob Frege však byl neoblomný v antipsychologismu: logika by měla být chápána způsobem nezávislým na výstřednostech toho, jak by konkrétní lidé mohli uvažovat.

Deduktivní a induktivní uvažování

Původně se logika skládala pouze z deduktivního uvažování, které se týká toho, co nutně vyplývá z daných předpokladů. Nicméně induktivní uvažování – proces odvození spolehlivého zobecnění z pozorování – byl někdy zahrnut do studia logiky. Odpovídajícím způsobem musíme rozlišovat mezi deduktivní validitou a induktivní validitou. Dedukce je deduktivně platná tehdy a jen tehdy, pokud neexistuje žádná možná situace, kdy jsou všechny předpoklady pravdivé a závěr nepravdivý. Pojem deduktivní validita může být přesně stanoven pro systémy formální logiky z hlediska dobře pochopených pojmů sémantiky. Induktivní validita na druhé straně vyžaduje, abychom definovali spolehlivé zobecnění některé množiny pozorování. K úkolu poskytnout tuto definici lze přistupovat různými způsoby, některé méně formálně než jiné; některé z těchto definic mohou používat matematické modelypravděpodobnosti. Z větší části se tato diskuse o logice zabývá pouze deduktivní logikou. deduktivní argument sleduje vzorec obecného předpokladu ke konkrétnímu,existuje velmi silný vztah mezi premisou a conlusion argumentu.

Formálně sofistikované zacházení s moderní logikou vychází z řecké tradice, která je především poučena z přenosu Aristotelovy logiky. Tradice mimo Evropu nepřežily do moderní éry: v Číně byla tradice vědeckého zkoumání logiky potlačena dynastií Čchin podle legalistické filozofie Han Fej-ziho; v islámském světě vzestup ašaritánské školy potlačil původní práci na logice.

Avšak v Indii pokračovaly inovace ve scholastické škole, zvané Nyaya, až do počátku 18. století. Nepřežila dlouho do koloniálního období. Ve 20. století se západní filozofové jako Stanislaw Schayer a Klaus Glashoff snažili prozkoumat některé aspekty indické tradice logiky. Podle Hermanna Weyla(1929):

Během středověku, poté, co bylo prokázáno, že Aristotelovy myšlenky byly do značné míry kompatibilní s vírou, byl větší důraz kladen na Aristotelovu logiku. Během pozdějšího období středověku se logika stala hlavním zaměřením filozofů, kteří se zapojili do kritických logických analýz filozofických argumentů.

V průběhu dějin existoval zájem odlišit dobré od špatných argumentů, a tak byla logika studována v nějaké více či méně známé formě. Aristotelovská logika se zabývala především výukou dobrých argumentů a je s tímto cílem vyučována dodnes, zatímco v matematické logice a analytické filozofii je kladen mnohem větší důraz na logiku jako předmět studia sama o sobě, a tak je logika studována na abstraktnější úrovni.

Zohlednění různých typů logiky vysvětluje, že logika se nestuduje ve vzduchoprázdnu. Zatímco se zdá, že logika často poskytuje své vlastní motivace, předmět se nejzdravěji vyvíjí, když je objasněn důvod našeho zájmu.

Organon bylo Aristotelovo tělo práce na logice, s Prior Analytics tvoří první explicitní práce ve formální logice, zavedení syllogistic. Části syllogistic, také známý pod názvem termín logika, byla analýza úsudků do návrhů sestávajících ze dvou pojmů, které jsou spojeny jedním z pevného počtu vztahů, a vyjádření závěrů pomocí syllogisms, které se skládaly ze dvou návrhů sdílejících společný termín jako předpoklad, a závěr, který byl návrh zahrnující dva nesouvisející pojmy z premisy.

Aristotelovo dílo bylo považováno v klasických dobách a od středověku v Evropě a na Blízkém východě za samotný obraz plně propracovaného systému. Nebylo to samo: Stoikové navrhli systém výrokové logiky, který byl studován středověkými logiky; ani dokonalost Aristotelova systému nebyla zpochybněna; například problém vícenásobné obecnosti byl uznán ve středověku. Nicméně problémy s syllogistickou logikou nebyly považovány za potřebné revoluční řešení.

Dnes někteří akademici tvrdí, že Aristotelův systém je obecně považován za systém, který má jen o málo více než historickou hodnotu (i když existuje určitý současný zájem o prodloužení termínu logika), který je považován za zastaralý příchodem sententiální logiky a predikátového počtu. Jiní používají Aristotela v argumentační teorii, aby pomohli vyvinout a kriticky zpochybnit argumentační schémata, která jsou používána v umělé inteligenci a právních argumentech.

Logika tak, jak je studována dnes, je velmi odlišným předmětem než ta, která byla studována dříve, a hlavním rozdílem je inovace predikátové logiky. Zatímco Aristotelovská syllogistická logika specifikovala formy, které příslušná část dotčených úsudků měla, predikátová logika umožňuje, aby věty byly analyzovány do předmětu a argumentu několika různými způsoby, čímž predikátová logika umožňuje vyřešit problém mnohonásobné obecnosti, který mátl středověké logiky. S predikátovou logikou byli logici poprvé schopni poskytnout účet kvantifikátorů natolik obecný, aby vyjádřil všechny argumenty vyskytující se v přirozeném jazyce.

Vývoj predikátové logiky je obvykle připisován Gottlobovi Fregeovi, který je také připisován jako jeden ze zakladatelů analytické filozofie, ale formulace predikátové logiky je dnes nejčastěji používaná logika prvního řádu, kterou v roce 1928 představili v knize Principy teoretické logiky David Hilbert a Wilhelm Ackermann. Analytická obecnost predikátové logiky umožnila formalizaci matematiky a řídila zkoumání teorie množin, umožnila rozvoj přístupu Alfreda Tarského k teorii modelů; bez nadsázky lze říci, že je základem moderní matematické logiky.

Fregeho původní systém predikátové logiky nebyl prvního, ale druhého řádu. Logika druhého řádu je nejvýrazněji obhajována (proti kritice Willarda Van Ormana Quinea a dalších) Georgem Boolosem a Stewartem Shapirem.

V jazycích se modalita zabývá jevem, že podčásti věty mohou mít svou sémantiku upravenou speciálními slovesy nebo modálními částicemi. Například „Chodíme na hry“ může být upraveno tak, aby dávalo „Měli bychom chodit na hry“ a „Můžeme chodit na hry“ a možná „Půjdeme na hry“. abstraktněji bychom mohli říci, že modalita ovlivňuje okolnosti, za kterých považujeme tvrzení za splněné.

Logické studium modality sahá až k Aristotelovi, který se zabýval aletickými modalitami nutnosti a možnosti, které pozoroval jako duální ve smyslu De Morganovy duality. Zatímco studium nutnosti a možnosti zůstalo pro filozofy důležité, k malým logickým inovacím došlo až do přelomových výzkumů Clarence Irvinga Lewise v roce 1918, který zformuloval rodinu soupeřících axiomatizací aletických modalit. Jeho práce rozpoutala příval nových prací na toto téma a rozšířila druhy modalit ošetřené tak, aby zahrnovaly deontickou logiku a epistemickou logiku. Stěžejní práce Arthura Priora použila stejný formální jazyk k ošetření časové logiky a vydláždila cestu ke sňatku obou předmětů. Saul Kripke objevil (současně se soupeři) svou teorii rámové sémantiky, která způsobila revoluci formální technologie dostupné modálním logikům a dala nový graf-teoretický způsob pohledu na modalitu, který poháněl mnoho aplikací ve výpočetní lingvistice a počítačové vědě, například dynamickou logiku.

Motivace pro studium logiky v dávných dobách byla jasná, jak jsme popsali: je to proto, abychom se mohli naučit rozlišovat dobré od špatných argumentů, a tak se stát efektivnější v argumentaci a řečnění, a možná také, aby se stal lepším člověkem.

Tato motivace je stále živá, i když už není v obraze logiky středem pozornosti; typicky dialektická logika bude tvořit srdce kurzu kritického myšlení, povinného kurzu na mnoha univerzitách, zejména těch, které následují americký model.

Matematická logika skutečně odkazuje na dvě odlišné oblasti výzkumu: první je aplikace technik formální logiky na matematiku a matematické uvažování, a druhý, v opačném směru, aplikace matematických technik na reprezentaci a analýzu formální logiky.

Nejstarší použití matematiky a geometrie ve vztahu k logice a filozofii sahá až ke starověkým Řekům, jako byli Eukleidés, Platón a Aristoteles. Mnoho dalších starověkých a středověkých filozofů aplikovalo matematické myšlenky a metody na svá filozofická tvrzení.

Nejodvážnější pokus aplikovat logiku na matematiku byl nepochybně logicismus průkopníkem filozofové-logici jako Gottlob Frege a Bertrand Russell: myšlenka byla, že matematické teorie byly logické tautologie, a program byl ukázat to prostřednictvím snížení matematiky na logiku. Různé pokusy o provedení tohoto se setkal s řadou selhání, od ochromení na Frege projekt v jeho Grundgesetze o Russell je paradox, na porážku Hilbert Program o Gödel je neúplnost vět.

Jak tvrzení Hilbertova programu a jeho vyvrácení Gödelem záviselo na jejich práci, která stanovila druhou oblast matematické logiky, aplikaci matematiky na logiku v podobě teorie důkazu. Přes negativní povahu vět o neúplnosti, Gödelova věta o úplnosti, výsledek v teorii modelu a další aplikace matematiky na logiku, může být chápána tak, že ukazuje, jak blízko logicismus přišel k pravdě: každá přísně definovaná matematická teorie může být přesně zachycena logickou teorií prvního řádu; Frege je důkaz kalkul je dost popsat celou matematiku, i když není ekvivalentní k ní. Tak vidíme, jak komplementární obě oblasti matematické logiky byly.

Teorie rekurze zachycuje myšlenku výpočtu v logických a aritmetických pojmech; její klasické úspěchy jsou nerozhodnutelnost Entscheidungsproblem od Alana Turinga a jeho prezentace Church-Turingovy teze. Dnes se teorie rekurze zabývá především propracovanějším problémem tříd složitosti – kdy je problém efektivně řešitelný? – a klasifikací stupňů neřešitelnosti.

Filosofická logika se zabývá formálními popisy přirozeného jazyka. Většina filozofů předpokládá, že podstatnou část „normálního“ správného uvažování lze zachytit logikou, pokud lze najít správnou metodu pro překlad běžného jazyka do této logiky. Filosofická logika je v podstatě pokračováním tradiční disciplíny, která byla nazývána „Logika“ předtím, než byla nahrazena vynálezem matematické logiky. Filosofická logika má mnohem větší starost o spojení přirozeného jazyka a logiky. V důsledku toho přispěli filosofičtí logici velkou měrou k rozvoji nestandardní logiky (např. volné logiky, tenzní logiky) i různých rozšíření klasické logiky (např. modální logiky) a nestandardní sémantiky pro takovou logiku (např. Kripkeho technika nadhodnocení v sémantice logiky).

Logika a filosofie jazyka spolu úzce souvisí. Filosofie jazyka souvisí se studiem toho, jak se náš jazyk zapojuje do našeho myšlení a jak s ním interaguje. Logika má bezprostřední dopad na další oblasti studia. Studium logiky a vztahu mezi logikou a obyčejnou řečí může člověku pomoci lépe strukturovat jeho vlastní argumenty a kritizovat argumenty druhých. Mnoho populárních argumentů je naplněno chybami, protože tolik lidí není v logice vycvičeno a neví, jak správně formulovat argument.

Filosofie jazyka prošla ve 20. století renesancí díky dílu Ludwiga Wittgensteina.

Logika řez do srdce počítačové vědy, jak to vyšlo jako disciplína: Alan Turing práce na Entscheidungsproblem následoval od Kurt Gödel práce na nekompleteness věty, a pojem obecného účelu počítače, které vzešly z této práce bylo zásadní význam pro návrháře na počítačové stroje ve čtyřicátých letech.

V padesátých a šedesátých letech vědci předpovídali, že pokud by lidské poznání mohlo být vyjádřeno pomocí logiky s matematickým zápisem, bylo by možné vytvořit stroj, který argumentuje, nebo umělou inteligenci. Ukázalo se, že je to obtížnější, než se očekávalo, kvůli složitosti lidského uvažování. V logickém programování se program skládá ze sady axiomů a pravidel. Logické programovací systémy, jako je Prolog, počítají důsledky axiomů a pravidel, aby mohly odpovědět na dotaz.

Počítače mohou být dále využívány jako nástroje pro logiky. Například v symbolické logice a matematické logice mohou být důkazy od člověka počítačově podporovány. Pomocí automatizované věty dokazující, že stroje mohou najít a zkontrolovat důkazy, stejně jako pracovat s důkazy, které jsou příliš zdlouhavé na to, aby byly sepsány ručně.

Teorie argumentace je studium a výzkum neformální logiky, omylů a kritických otázek, protože se vztahují ke každodenním a praktickým situacím. Konkrétní typy dialogu mohou být analyzovány a zpochybňovány za účelem odhalení předpokladů, závěrů a omylů. Teorie argumentace je nyní aplikována v umělé inteligenci a právu.

Stejně jako jsme viděli, že existuje neshoda v tom, o čem je logika, tak existuje neshoda v tom, o jaké logické pravdy se jedná.

Bivalence a zákon vyloučeného středu

Výše popsané logiky jsou všechny „bivalentní“ nebo „dvouhodnotové“; to znamená, že jsou nejpřirozeněji chápány jako dělení tvrzení na pravdivá a falešná tvrzení. Systémy, které odmítají bivalenci, jsou známé jako neklasické logiky.

V roce 1910 Nicolai A. Vasiliev odmítl zákon vyloučeného středu a zákon protikladu a navrhl zákon vyloučeného čtvrtého a logiky tolerantní k protikladu. Na počátku 20. století Jan Łukasiewicz zkoumal rozšíření tradičních hodnot pravda/nepravda o třetí hodnotu, „možnou“, takže vynalezl ternární logiku, první mnohocennou logiku.

Intuicionistická logika byla navržena L.E.J. Brouwerem jako správná logika pro uvažování o matematice, založená na jeho odmítnutí zákona vyloučeného středu jako součást jeho intuicionismu. Brouwer odmítl formalizaci v matematice, ale jeho student Arend Heyting studoval intuicionistickou logiku formálně, stejně jako Gerhard Gentzen. Intuicionistická logika začala být velmi zajímavá pro počítačové vědce, protože je to konstruktivní logika, a proto je logikou toho, co počítače mohou dělat.

Modální logika není podmíněná pravdou, a tak byla často navrhována jako neklasická logika. Nicméně modální logika je normálně formalizována s principem vyloučeného středu a její relační sémantika je bivalentní, takže toto zařazení je diskutabilní. Na druhou stranu modální logika může být použita pro kódování neklasických logik, jako je intuicionistická logika.

Logika jako fuzzy logika byla od té doby vymyšlena s nekonečným počtem „stupňů pravdy“, reprezentovaných reálným číslem mezi 0 a 1. Bayesovská pravděpodobnost může být interpretována jako systém logiky, kde pravděpodobnost je subjektivní hodnotou pravdy.

Důsledek: přísný nebo materiální?

Je zřejmé, že pojem implikace formalizovaný v klasické logice se nedá pohodlně přeložit do přirozeného jazyka pomocí „kdyby... pak...“, kvůli řadě problémů zvaných paradoxy materiálních implikací.

První třída paradoxů zahrnuje kontrafakty, jako například „Je-li Měsíc vyroben ze zeleného sýra, pak 2+2=5“, které jsou záhadné, protože přirozený jazyk nepodporuje princip exploze. Eliminace této třídy paradoxů byla důvodem, proč C. I. Lewis formuloval striktní implikace, což nakonec vedlo k radikálněji revizionistickým logikám, jako je logika relevance.

Druhá třída paradoxů zahrnuje nadbytečné předpoklady, které falešně naznačují, že známe succedent díky předchozímu: tedy „pokud bude ten muž zvolen, babička zemře“ je materiálně pravdivé, pokud se babička náhodou nachází v posledním stádiu smrtelné nemoci, bez ohledu na mužovy volební vyhlídky. Takové věty porušují Griceanovu maximu relevance a mohou být modelovány logikou, která odmítá princip monotónnosti implikace, jako je relevance logika.

S otázkami plynoucími z paradoxů implikace úzce souvisí radikální názor, že logika by měla tolerovat nekonzistentnost. Relevantní logika a parakonzistentní logika jsou zde nejdůležitějšími přístupy, i když obavy jsou různé: klíčovým důsledkem klasické logiky a některých jejích soupeřů, jako je intuicionistická logika, je, že respektují princip exploze, což znamená, že logika se zhroutí, pokud je schopna odvodit rozpor. Graham Priest, hlavní zastánce dialeteismu, argumentoval pro parakonzistenci na zarážejících základech, že ve skutečnosti existují skutečné rozpory.

Jaký je epistemologický status zákonů logiky? Jaký druh argumentů je vhodný pro kritiku údajných principů logiky? Ve vlivné studii nazvané „Je logika empirická?“ Hilary Putnam, stavějící na návrhu W.V. Quina, tvrdila, že obecně mají fakta výrokové logiky podobný epistemologický status jako fakta o fyzikálním vesmíru, například jako zákony mechaniky nebo obecné relativity, a zejména, že to, co se fyzikové naučili o kvantové mechanice, poskytuje přesvědčivý důvod pro opuštění některých známých principů klasické logiky: pokud chceme být realisty o fyzikálních jevech popsaných kvantovou teorií, pak bychom měli opustit princip distributivity a nahradit klasickou logiku kvantovou logikou navrženou Garrettem Birkhoffem a Johnem von Neumannem.

Jiný stejnojmenný článek od sira Michaela Dummetta tvrdí, že Putnamova touha po realismu nařizuje zákon distributivity. Distributivita logiky je nezbytná pro realistovo chápání toho, jak jsou výroky pravdivé o světě, stejně jako argumentoval principem bivalence. Takto lze mít za to, že otázka „Je logika empirická?“ vede přirozeně k základní polemice v metafyzice o realismu versus antirealismu.