Teorie chaosu

Graf Lorenzova atraktoru pro hodnoty r = 28, σ = 10, b = 8/3

V matematice a fyzice teorie chaosu popisuje chování určitých nelineárních dynamických systémů, které mohou vykazovat dynamiku, která je vysoce citlivá na počáteční podmínky (lidově označované jako motýlí efekt). V důsledku této citlivosti, která se projevuje jako exponenciální růst perturbací v počátečních podmínkách, se chování chaotických systémů jeví jako náhodné. To se děje, i když jsou tyto systémy deterministické, což znamená, že jejich budoucí dynamika je plně definována jejich počátečními podmínkami, bez náhodných prvků. Toto chování je známé jako deterministický chaos, nebo prostě chaos.

Chaotické chování bylo pozorováno v laboratoři v celé řadě systémů včetně elektrických obvodů, laserů, oscilujících chemických reakcí, dynamiky tekutin a mechanických a magneto-mechanických zařízení. Pozorování chaotického chování v přírodě zahrnuje dynamiku satelitů ve sluneční soustavě, časový vývoj magnetického pole nebeských těles, populační růst v ekologii, dynamiku akčních potenciálů v neuronech a molekulární vibrace. Mezi každodenní příklady chaotických systémů patří počasí a klima.[1] O existenci chaotické dynamiky v deskové tektonice a v ekonomii panují jisté polemiky.[2] [3] [4]

Systémy, které vykazují matematický chaos, jsou deterministické, a tedy v jistém smyslu uspořádané; toto technické užití slova chaos je v rozporu s běžnou hantýrkou, která naznačuje naprostou neuspořádanost. Související obor fyziky zvaný teorie kvantového chaosu studuje systémy, které se řídí zákony kvantové mechaniky. Nedávno se objevil jiný obor, zvaný relativistický chaos[5], který popisuje systémy, které se řídí zákony obecné relativity.

Chaotické systémy mají kromě toho, že jsou uspořádané ve smyslu determinismu, také dobře definované statistiky. Například Lorenzův systém, který je na obrázku, je chaotický, ale má jasně definovanou strukturu. Ohraničený chaos je užitečný termín pro popis modelů neuspořádanosti.

Fraktální kapradina vytvořená pomocí chaotické hry. Přírodní formy v přírodě (kapradiny, mraky, hory atd.) mohou být znovu vytvořeny prostřednictvím systému funkcí Iterated (IFS).

Prvním objevitelem chaosu může být pravděpodobně Jacques Hadamard, který v roce 1898 publikoval vlivnou studii chaotického pohybu volné částice klouzající bez tření po povrchu konstantního záporného zakřivení. Ve zkoumaném systému, Hadamardově kulečníku, byl Hadamard schopen ukázat, že všechny trajektorie jsou nestabilní, v tom, že všechny trajektorie částic se exponenciálně od sebe liší, s kladným Lyapunovovým exponentem.

Navzdory počátečním poznatkům z první poloviny století se teorie chaosu jako taková formalizovala až po polovině století, kdy se pro některé vědce poprvé ukázalo, že lineární teorie, v té době převládající teorie systémů, prostě nedokáže vysvětlit pozorované chování určitých experimentů, jako je tomu u logistické mapy. To, co bylo předem vyloučeno jako nepřesnost měření a jednoduchý „šum“, bylo teoriemi chaosu považováno za úplnou součást studovaných systémů.

Hlavním katalyzátorem rozvoje teorie chaosu byl elektronický počítač. Velká část matematiky teorie chaosu zahrnuje opakovanou iteraci jednoduchých matematických vzorců, což by bylo nepraktické dělat ručně. Elektronické počítače učinily tyto opakované výpočty praktickými, zatímco obrázky a obrázky umožnily vizualizaci těchto systémů. Jeden z prvních elektronických digitálních počítačů, ENIAC, byl použit pro spuštění jednoduchých modelů předpovědi počasí.

Turbulence v hrotovém víru z křídla letadla. Studie kritického bodu, za kterým systém vytváří turbulence, byly důležité pro teorii chaosu, analyzované například sovětským fyzikem Levem Landauem, který vyvinul Landauovu-Hopfovu teorii turbulencí. David Ruelle a Floris Takens později předpověděli proti Landauovi, že turbulence tekutin by se mohla vyvinout prostřednictvím podivného atraktoru, hlavního konceptu teorie chaosu.

Prvním průkopníkem této teorie byl Edward Lorenz, jehož zájem o chaos vznikl náhodně díky jeho práci na předpovědi počasí v roce 1961. Lorenz používal základní počítač, Royal McBee LGP-30, ke spuštění své simulace počasí. Chtěl znovu vidět sled dat a aby ušetřil čas, spustil simulaci uprostřed jejího průběhu. Byl toho schopen zadáním výtisku dat odpovídajících podmínkám uprostřed své simulace, kterou vypočítal minule.

K jeho překvapení bylo počasí, které začal přístroj předpovídat, úplně jiné než počasí vypočítané předtím. Lorenz to vystopoval až k počítačovému výtisku. Výpis zaokrouhlil proměnné na trojmístné číslo, ale počítač pracoval s šestimístnými čísly. Tento rozdíl je nepatrný a shoda v té době by byla taková, že by neměl mít prakticky žádný účinek. Lorenz však zjistil, že malé změny v počátečních podmínkách způsobily velké změny v dlouhodobém výsledku. Lorenzův objev, který dal jméno Lorenzovým atraktorům, prokázal, že meteorologie nemůže rozumně předpovídat počasí přesahující týdenní období (nanejvýš).

Rok předtím našel Benoit Mandelbrot opakující se vzorce v každém měřítku v údajích o cenách bavlny. Předtím studoval teorii informací a dospěl k závěru, že šum je vzorovaný jako Cantorova množina: v jakémkoli měřítku byl podíl období obsahujících šum na bezchybných obdobích konstantní-- tudíž chyby byly nevyhnutelné a musely být naplánovány začleněním redundance. Mandelbrot popsal jak Noahův jev (při kterém mohou nastat náhlé diskontinuální změny, např. v cenách akcií po špatných zprávách, což zpochybňuje teorii normálního rozdělení ve statistice, alias Bellova křivka), tak Josephův jev (při kterém může na chvíli nastat přetrvávání hodnoty, ale pak se náhle změní). V roce 1967 vydal knihu Jak dlouhé je pobřeží Británie? Statistická samopodobnost a zlomková dimenze, která ukazuje, že délka pobřeží se mění s měřítkem měřicího přístroje, podobá se sama sobě ve všech měřítkách a je nekonečně dlouhá pro nekonečně malé měřicí zařízení. Argumentoval tím, že koule z motouzu se zdá být 1-dimenzionální (far), 3-dimenzionální (fairly near), nebo 1-dimenzionální (close), argumentoval tím, že rozměry objektu jsou relativní k pozorovateli a mohou být frakční. Objekt, jehož nepravidelnost je konstantní v různých měřítcích ("self-podobnost") je fraktál (například Kochova křivka nebo "sněhová vločka", která je nekonečně dlouhá a přesto uzavírá konečný prostor s rozměry = 1.2618; nebo Mengerova houba a Sierpinského těsnění). V roce 1975 Mandelbrot publikoval The Fractal Geometry of Nature, která se stala klasikou teorie chaosu. Biologické systémy jako větvení oběhové a bronchiální soustavy se ukázaly jako vhodné pro fraktální model.

Jošisuke Ueda nezávisle identifikoval chaotický jev jako takový použitím analogového počítače 27. listopadu 1961. Chaos, který vykazuje analogový počítač, je skutečný jev, na rozdíl od těch, které vypočítávají digitální počítače, které mají jiný druh limitu přesnosti. Uedův vedoucí profesor Hajaši nevěřil v chaos, a proto zakázal Uedovi publikovat jeho zjištění až do roku 1970.

V prosinci 1977 uspořádala Newyorská akademie věd první sympozium o Chaosu, kterého se zúčastnili David Ruelle, Robert May, James Yorke (minátor termínu „chaos“, jak se používá v matematice), Robert Shaw (fyzik, součást skupiny Eudaemons s J.Doynem Farmerem a Normanem Packardem, kteří se snažili najít matematickou metodu, jak porazit ruletu, a pak s nimi vytvořili Dynamický systémový kolektiv v Santa Cruz) a meteorolog Edward Lorenz.

V následujícím roce Mitchell Feigenbaum publikoval známý článek „Kvantitativní univerzálnost pro třídu nelineárních transformací“, kde popsal logistické mapy. Feigenbaum aplikoval fraktální geometrii pro studium přírodních forem, jako jsou pobřeží. Feigenbaum zejména objevil univerzálnost v chaosu, což umožnilo aplikovat teorii chaosu na mnoho různých jevů.

V roce 1979 Albert J. Libchaber během sympozia pořádaného v Aspenu Pierrem Hohenbergem své experimentální pozorování bifurkační kaskády, která vede k chaosu a turbulencím v konvektivních Rayleigh-Benardových systémech. V roce 1986 mu byla udělena Wolfova cena za fyziku spolu s Mitchellem J. Feigenbaumem „za jeho brilantní experimentální demonstraci přechodu k turbulencím a chaosu v dynamických systémech“.[6]

Newyorská akademie věd pak v roce 1986 společně s Národním ústavem duševního zdraví a Úřadem námořního výzkumu uspořádala první důležitou konferenci o chaosu v biologii a medicíně. Bernardo Huberman tak představil matematický model poruchy sledování zraku u schizofreniků [7]. Teorie chaosu poté obnovila fyziologii v 80. letech, například ve studiu patologických srdečních cyklů.

Ve stejném roce vydal James Gleick knihu Chaos: Making a New Science (Chaos: Tvorba nové vědy), která se stala bestsellerem a představila široké veřejnosti obecné principy teorie chaosu i jeho historii. Zpočátku šlo o oblasti práce několika izolovaných jedinců, teorie chaosu se postupně objevovala jako transdisciplinární a institucionální disciplína, hlavně pod názvem nelineární analýza systémů. S odkazem na koncept Thomase Kuhna o změně paradigmatu, který byl odhalen ve Struktuře vědeckých revolucí (1962), mnoho „chaologů“ (jak se někteří sami nominovali) tvrdilo, že tato nová teorie je příkladem takového posunu, což je teze, kterou zastával J.

Dostupnost levnějších a výkonnějších počítačů rozšiřuje použitelnost teorie chaosu. V současné době je teorie chaosu nadále velmi aktivní oblastí výzkumu, která zahrnuje mnoho různých oborů (matematika, topologie, fyzika, populační biologie, biologie, meteorologie, astrofyzika, teorie informací atd.).

Citlivost k počátečním podmínkám znamená, že každý bod v takovém systému je libovolně blíže aproximován jinými body s výrazně odlišnými budoucími trajektoriemi. Libovolně malá odchylka současné trajektorie tak může vést k výrazně odlišnému budoucímu chování.

Citlivost k počátečním podmínkám je lidově známá jako „motýlí efekt“, tak zvaný podle názvu práce, kterou dal Edward Lorenz v roce 1972 Americké asociaci pro vědecký pokrok ve Washingtonu, D.C. s názvem Předvídatelnost: Vyvolává mávnutí motýlích křídel v Brazílii Tornádo v Texasu? Mávající křídlo představuje malou změnu počátečního stavu systému, která způsobuje řetězec událostí vedoucích k rozsáhlým jevům. Kdyby motýl nemával křídly, trajektorie systému by mohla být diametrálně odlišná.

Citlivost k počátečním podmínkám je v populárních účtech často zaměňována s chaosem. Může to být také nenápadná vlastnost, protože závisí na volbě metriky, nebo na pojmu vzdálenosti ve fázovém prostoru systému. Vezměme si například jednoduchý dynamický systém vytvořený opakovaným zdvojnásobením počáteční hodnoty (definované mapováním na reálné přímce z x na 2x). Tento systém má citlivou závislost na počátečních podmínkách všude, protože jakákoli dvojice blízkých bodů se nakonec značně oddělí. Má však extrémně jednoduché chování, protože všechny body kromě 0 mají tendenci k nekonečnu. Pokud místo toho použijeme ohraničenou metriku na přímce získanou sečtením bodu v nekonečnu a zobrazením výsledku jako kruhu, systém již není citlivý na počáteční podmínky. Z tohoto důvodu je při definování chaosu pozornost běžně omezena na systémy s ohraničenou metrikou, nebo uzavřené, ohraničené invariantní podskupiny neomezených systémů.

I u ohraničených systémů není citlivost na počáteční podmínky totožná s chaosem. Vezměme si například dvourozměrný torus popsaný dvojicí úhlů (x,y), z nichž každý se pohybuje mezi nulou a 2π. Definujte mapování, které převezme libovolný bod (x,y) do (2x, y + a), kde a je libovolné číslo takové, že a/2π je iracionální. Kvůli zdvojení v první souřadnici vykazuje mapování citlivou závislost na počátečních podmínkách. Nicméně kvůli iracionální rotaci ve druhé souřadnici nejsou periodické oběžné dráhy, a tudíž mapování není chaotické podle výše uvedené definice.

Topologické mísení znamená, že se systém bude v průběhu času vyvíjet tak, že se jakákoli daná oblast nebo otevřená množina jeho fázového prostoru bude nakonec překrývat s jakoukoli jinou danou oblastí. Zde má „mísení“ skutečně odpovídat standardní intuici: mísení barevných barviv nebo tekutin je příkladem chaotického systému.

Některé dynamické systémy jsou všude chaotické (viz např. Anosovovy diffeomorfizmy), ale v mnoha případech se chaotické chování vyskytuje pouze v podmnožině fázového prostoru. Nejvíce zajímavé případy vznikají, když se chaotické chování odehrává na atraktoru, od té doby velký soubor počátečních podmínek povede k oběžným drahám, které se sbíhají k této chaotické oblasti.

Snadný způsob, jak si představit chaotický atraktor, je začít s bodem v nádrži přitažlivosti atraktoru a pak jednoduše zakreslit jeho následnou oběžnou dráhu. Vzhledem k topologické přechodnosti je pravděpodobné, že tak vznikne obraz celého konečného atraktoru.

Fázový diagram pro tlumeně poháněné kyvadlo, s dvojitým periodovým pohybem

Například v systému popisujícím kyvadlo může být fázový prostor dvourozměrný, skládající se z informací o poloze a rychlosti. Lze zakreslit polohu kyvadla proti jeho rychlosti. Kyvadlo v klidu bude zakresleno jako bod a jedno v pravidelném pohybu bude zakresleno jako jednoduchá uzavřená křivka. Když takový zákres vytvoří uzavřenou křivku, nazývá se křivka oběžná dráha. Naše kyvadlo má nekonečný počet takových oběžných drah, tvořících tužku vnořených elips kolem počátku.

Zatímco většina výše zmíněných pohybových typů dává vzniknout velmi jednoduchým atraktorům, jako jsou body a kruhovité křivky zvané limitní cykly, chaotický pohyb dává vzniknout tomu, čemu se říká podivné atraktory, atraktory, které mohou mít velké detaily a složitost. Například jednoduchý trojrozměrný model Lorenzova meteorologického systému dává vzniknout slavnému Lorenzovu atraktoru. Lorenzův atraktor je možná jedním z nejznámějších chaotických systémových diagramů, pravděpodobně proto, že byl nejen jedním z prvních, ale je jedním z nejsložitějších a jako takový dává vzniknout velmi zajímavému obrazci, který vypadá jako křídla motýla. Dalším takovým atraktorem je Rösslerova mapa, která zažívá období dva zdvojení cesty k chaosu, jako logistická mapa.

Podivné atraktory se vyskytují jak v kontinuálních dynamických systémech (jako je Lorenzův systém), tak v některých diskrétních systémech (jako je Hénonova mapa). Jiné diskrétní dynamické systémy mají odpuzující strukturu nazývanou Julia množina, která se tvoří na hranici mezi kotlinami přitažlivosti pevných bodů – Julia množiny lze považovat za podivné repelery. Jak podivné atraktory, tak Julia množiny mají typicky fraktální strukturu.

Poincarého-Bendixsonova věta ukazuje, že podivný atraktor může vzniknout pouze v souvislém dynamickém systému, pokud má tři nebo více rozměrů. Žádné takové omezení se však nevztahuje na diskrétní systémy, které mohou vykazovat podivné atraktory ve dvou nebo dokonce v jednom rozměrném systému.

Počáteční podmínky tří nebo více těles interagujících prostřednictvím gravitační přitažlivosti (viz problém n-těles) mohou být uspořádány tak, aby vytvářely chaotický pohyb.

Minimální složitost chaotického systému

Bifurkační diagram logistické mapy, zobrazující chaotické chování za prahovou hodnotou

Jednoduché systémy mohou také vytvářet chaos, aniž by se spoléhaly na diferenciální rovnice. Příkladem je logistická mapa, což je diferenční rovnice (relace opakování), která popisuje růst populace v čase.

Dokonce i vývoj jednoduchých diskrétních systémů, jako jsou buněčné automaty, může silně záviset na počátečních podmínkách. Stephen Wolfram zkoumal buněčný automat s touto vlastností, nazvanou jím pravidlo 30.

Minimální model konzervativního (reverzibilního) chaotického chování poskytuje Arnoldova kočičí mapa.

Sarkovského věta je základem Li a Yorke (1975) důkaz, že každý jeden-dimenzionální systém, který vykazuje pravidelný cyklus období tři bude také zobrazovat pravidelné cykly každé jiné délky, stejně jako zcela chaotické oběžné dráhy.

Rozlišení náhodných dat od chaotických

Z dat může být obtížné určit, zda je fyzikální nebo jiný pozorovaný proces náhodný nebo chaotický, protože v praxi se žádná časová řada neskládá z čistého „signálu“. Vždy bude existovat nějaká forma korumpujícího šumu, i když je přítomen jako zaokrouhlení nebo oříznutí chyby. Jakákoli reálná časová řada, i když většinou deterministická, tedy bude obsahovat nějakou náhodnost.[9]

Všechny metody pro rozlišení deterministických a stochastických procesů se opírají o skutečnost, že deterministický systém se vždy vyvíjí stejným způsobem od daného výchozího bodu.[10][9] Tedy, vzhledem k časové řadě pro testování determinismu, lze:

Definujte chybu jako rozdíl mezi časovým vývojem „testovacího“ stavu a časovým vývojem blízkého stavu. Deterministický systém bude mít chybu, která buď zůstane malá (stabilní, pravidelné řešení), nebo se exponenciálně zvyšuje s časem (chaos). Stochastický systém bude mít náhodně rozloženou chybu.[11]

Teorie chaosu je v současné době aplikována také na lékařské studie epilepsie, konkrétně na předpověď zdánlivě náhodných záchvatů pozorováním počátečních podmínek.[14]

Semitechnická a populární díla