Stupně svobody

Ve statistice má pojem stupně svobody dva významy:

Při montáži statistických modelů na data jsou vektory reziduí často nuceny ležet v prostoru menšího rozměru, než je počet složek ve vektoru. Tento menší rozměr je počet stupňů volnosti pro chybu.

Snad nejjednodušší příklad je tento. Dejme tomu

jsou náhodné proměnné každý s očekávanou hodnotou μ, a nechť

být „výběrový průměr“. Pak množství

jsou zbytkové veličiny, které lze považovat za odhady chyb Xi − μ. Součet zbytkových veličin (na rozdíl od součtu chyb) je nutně 0. To znamená, že jsou nuceny ležet v prostoru dimenze n − 1. Známe-li hodnoty libovolných n − 1 zbytkových veličin, můžeme tedy najít poslední. Říkáme, že „existuje n − 1 stupňů volnosti pro chybu“.

Jen o něco méně jednoduchý příklad je, že na nejmenších čtverců odhad a a b v modelu

kde εi, a tudíž Yi jsou náhodné. Dovolit a být nejméně-čtverců odhady a a b. Pak zbytky

jsou omezeny ležet v prostoru definovaném dvěma rovnicemi

Jeden říká, že „existuje n − 2 stupně volnosti pro chybu“.

(Nároční si povšimnou, že velké Y se používá při specifikaci modelu a malé y při definici zbytkových veličin. To proto, že první z nich jsou hypotetické náhodné veličiny a druhé jsou data.)

Další jednoduchý a často viděný příklad se objevuje v několika srovnáních.

Parametry v rozdělení pravděpodobnosti

Pravděpodobnostní rozdělení reziduí jsou často parametrizována těmito počty stupňů volnosti. Hovoříme tedy o rozdělení chí-kvadrát se zadaným počtem stupňů volnosti, o F-rozdělení, Studentově t-rozdělení nebo o Wishartově rozdělení se zadanými počty stupňů volnosti v čitateli a jmenovateli.

Při známých použitích těchto rozdělení se počet stupňů volnosti bere pouze na celočíselné hodnoty. Základní matematika ve většině případů umožňuje zlomkové stupně volnosti, které mohou vzniknout při sofistikovanějších použitích.