Hry s nenulovým součtem

Nulový součet popisuje situaci, kdy je zisk nebo ztráta účastníka přesně vyvážena ztrátami nebo zisky druhého účastníka (dalších účastníků). Je tak pojmenován, protože když se sečtou celkové zisky účastníků a odečtou se celkové ztráty, sečtou se na nulu. Šachy jsou příkladem hry s nulovým součtem – není možné, aby vyhráli oba hráči. Nulový součet je zvláštní případ obecnější konstantní sumy, kdy se výhody a ztráty všech hráčů sečtou na stejnou hodnotu. Rozřezání dortu je nulový nebo konstantní součet, protože odebrání většího kusu snižuje množství dortu, které je k dispozici pro ostatní.

Situace, kdy účastníci mohou všichni společně získat nebo trpět, například země s nadbytkem banánů obchodující s jinou zemí pro svůj nadbytek jablek, kdy oba mají z transakce prospěch, se označují jako hry s nenulovým součtem. Jiné hry s nenulovým součtem jsou hry, v nichž je součet zisků a ztrát hráčů vždy menší, než s čím začali, například v pokerové hře hrané v kasinu, v níž si výhru bere dům.

Tento koncept byl poprvé vyvinut v teorii her a následně se situace s nulovým součtem často nazývají hry s nulovým součtem, i když to neznamená, že tento koncept nebo samotná teorie her se vztahuje pouze na to, co se běžně označuje jako hry. Optimální strategie pro hry s nulovým součtem pro dva hráče lze často nalézt pomocí strategií minimax.

V roce 1944 John von Neumann a Oskar Morgenstern prokázali, že každá hra s nulovým součtem zahrnující n hráčů je ve skutečnosti zobecněnou formou hry s nulovým součtem pro dvě osoby a že každá hra s nenulovým součtem pro n hráčů může být redukována na hru s nulovým součtem pro n + 1 hráče; hráč (n + 1) reprezentující globální zisk nebo ztrátu. To naznačuje, že hra s nulovým součtem pro dva hráče tvoří základní jádro matematické teorie her.

Nejčastějším nebo nejjednodušším příkladem z podoblasti sociální psychologie je koncept „sociálních pastí“. V některých případech můžeme posílit náš kolektivní blahobyt sledováním našich osobních zájmů – nebo strany mohou sledovat vzájemně destruktivní chování, jak si zvolí své vlastní cíle.

Ekonomika a nenulový součet

Situace s nenulovým součtem jsou důležitou součástí ekonomické aktivity díky produkci, marginálnímu užitku a hodnotě . Většina ekonomických situací je s nenulovým součtem, protože cenné zboží a služby mohou být vytvořeny, zničeny nebo špatně alokovány, a každá z nich vytvoří čistý zisk nebo ztrátu. Jednou ze strategií pro hry s nenulovým součtem je oko za oko.

Pokud se zemědělci podaří vypěstovat nárazníkovou úrodu, bude mít prospěch z toho, že bude moci prodat více potravin a vydělat více peněz. Spotřebitelé, kterým slouží, z toho budou mít rovněž prospěch, protože je více potravin pro všechny, takže cena za jednotku potravin bude nižší. Ostatní zemědělci, kteří neměli tak dobrou úrodu, mohou kvůli těmto nižším cenám poněkud trpět, ale tyto náklady pro ostatní zemědělce mohou být velmi dobře nižší než výhody, které mají všichni ostatní, takže celkově nárazníková úroda vytvořila čistý prospěch. Stejný argument platí i pro jiné druhy výrobní činnosti.

Obchod je činnost s nenulovým součtem, protože všechny strany dobrovolné transakce se domnívají, že se po obchodu budou mít lépe než dříve, jinak by se ho neúčastnily. Je možné, že se v tomto přesvědčení mýlí, ale zkušenost naznačuje, že lidé jsou častěji než neschopní správně posoudit, kdy by se díky transakci měli lépe, a tudíž v obchodování setrvávají po celý život. Ne vždy platí, že každý účastník bude mít stejný prospěch. Obchod je však stále situací s nenulovým součtem, kdykoli je výsledkem čistý zisk, bez ohledu na to, jak rovnoměrně nebo nerovnoměrně je tento zisk rozdělen.

Povaha ekonomických transakcí s nenulovým součtem kontrastuje s povahou transakcí s nulovým součtem, v níž se promítají do převodu peněz. Někteří to považují za ospravedlnění prosazování méně tradičních forem peněz.

Složitost a nenulový součet

Kritika tohoto názoru poukazuje na to, že ve skutečném systému s nulovým součtem je řešení win-win nemožné pro všechny dosáhnout a vyvažovat se tak, aby se část populace omezila na akceptování řešení lose-lose. Jinými slovy, systém s nenulovým součtem je možné vnímat pouze tehdy, když se nedíváme na celý systém (tj. když pozorujeme pouze část populace, která je win-win), ale pouze na jednu z jeho nevyvážených částí. Když je rozsah pozorování dostatečně široký, každý pozorovaný systém bude vykazovat vlastnosti s nulovým součtem.

Výplatní matice hry je pohodlný způsob reprezentace. Vezměme si například hru s nulovým součtem pro dva hráče na obrázku vpravo.

Pořadí hry probíhá následovně: První hráč si tajně vybere jednu ze dvou akcí 1 nebo 2; druhý hráč, který neví o volbě prvního hráče, si tajně vybere jednu ze tří akcí A, B nebo C. Pak jsou volby odhaleny a celkový počet bodů každého hráče je ovlivněn podle výplaty za tyto volby.

Příklad: první hráč si vybere akci 2 a druhý hráč si vybere akci B. Když je výplata přidělena, první hráč získá 20 bodů a druhý hráč ztrácí 20 bodů.

V této ukázkové hře znají oba hráči výplatní matici a snaží se maximalizovat počet svých bodů. Co by měli dělat?

Hráč 1 by mohl argumentovat takto: „s akcí 2 bych mohl ztratit až 20 bodů a vyhrát pouze 20, zatímco s akcí 1 mohu ztratit pouze 10, ale mohu vyhrát až 30, takže akce 1 vypadá mnohem lépe.“ S podobnou argumentací by hráč 2 zvolil akci C. Pokud oba hráči provedou tyto akce, první hráč vyhraje 20 bodů. Ale co se stane, pokud hráč 2 předvídá úvahy prvního hráče a volbu akce 1 a nevyzpytatelně jde na akci B, aby vyhrál 10 bodů? Nebo pokud první hráč zase předvídá tento nevyzpytatelný trik a jde na akci 2, aby nakonec vyhrál 20 bodů?

John von Neumann měl základní a překvapivý poznatek, že pravděpodobnost poskytuje východisko z tohoto hlavolamu. Místo toho, aby se oba hráči rozhodli pro určitou akci, přiřazují pravděpodobnosti ke svým akcím a pak používají náhodné zařízení, které podle těchto pravděpodobností vybere akci za ně. Každý hráč vypočítává pravděpodobnosti tak, aby minimalizoval maximální očekávanou bodovou ztrátu nezávisle na soupeřově strategii; to vede k lineárnímu programovacímu problému s jedinečným řešením pro každého hráče. Tato metoda minimax může vypočítat prokazatelně optimální strategie pro všechny hry s nulovým součtem pro dva hráče.

Pro výše uvedený příklad se ukazuje, že první hráč by měl zvolit akci 1 s pravděpodobností 57% a akci 2 s 43%, zatímco druhý hráč by měl přiřadit pravděpodobnost 0%, 57% a 43% třem akcím A, B a C. Hráč jedna pak získá v průměru 2,85 bodu na hru.

Normal-form game · Extensive-form game · Cooperative game · Information set · Preference

Nashova rovnováha · Podherní dokonalost · Bayesovská-Nashova · Dokonalá Bayesovská · Třesoucí se ruka · Správná rovnováha · Epsilonová rovnováha · Korelovaná rovnováha · Sekvenční rovnováha · Kvazidokonalá rovnováha · Evolučně stabilní strategie · Riziková dominance · Paretova efektivita

Dominantní strategie · Pure strategy · Mixed strategy · Tit for tat · Grim trigger · Collusion · Backward induction

Symetrická hra · Perfektní informace · Dynamická hra · Sekvenční hra · Opakovaná hra · Signalizační hra · Levné povídání · Hra s nulovým součtem · Mechanismus design · Vyjednávací problém · Stochastická hra · Nontransitivní hra · Globální hry

Vězeňské dilema · Cestovatelské dilema · Koordinační hra · Kuře · Dobrovolnické dilema · Aukce dolarů · Bitva pohlaví · Lov jelenů · Odpovídající mince · Hra s ultimátem · Menšinová hra · Kámen-nůžky-papír · Pirátská hra · Hra s diktátorem · Hra s veřejnými statky · Blotto hry  ·Válka opotřebení  ·El Farol Bar problém  ·Stříhání dortů  ·Cournot hra  ·Deadlock  ·Dinerovo dilema  ·Hádej 2/3 průměru  ·Kuhn poker  ·Nash vyjednávací hra  ·Screening hra  ·Signalizační hra  ·Trust hra  ·Princezna a monstrum hra

Minimaxova věta · Purifikační věta · Folková věta · Zjevovací princip · Arrowova věta o nemožnosti