Funkce (matematika)

Dílčí graf funkce f. Každé reálné číslo x je spojeno s číslem f (x)= x³ – 9x.

V matematice funkce spojuje každý ze svých vstupů přesně s jedním výstupem. Standardní notace pro výstup funkce f se vstupem x je f(x). Sada všech vstupů, které funkce přijímá, se nazývá doména funkce. Sada všech výstupů se nazývá rozsah.

Například výraz f(x) = x2 popisuje funkci f, která se vztahuje ke každému vstupu, x, s jedním výstupem, x2. Tedy vstup 3 se vztahuje k výstupu 9. Jakmile byla funkce f definována, můžeme napsat například f(4) = 16.

V matematice je běžnou praxí zavést funkce s dočasnými názvy jako f; v dalším odstavci bychom mohli definovat f(x) = 2x+1 a pak f(4) = 9. Když název funkce není potřeba, často se používá tvar y=x2.

Používáme-li funkci často, můžeme jí dát trvalý název jako například

Základní vlastností funkce je, že pro každý vstup musí existovat jeden jedinečný výstup. Tedy například,

nedefinuje funkci, protože může mít dva výstupy. Např. odmocnina z 9 je 3 a − 3. Abychom z odmocniny udělali funkci, musíme určit, kterou odmocninu si vybrat. Definice

pro každý nezáporný vstup vybere nezápornou odmocninu jako výstup.

Funkce nemusí zahrnovat čísla. Příkladem funkce, která nepoužívá čísla, je funkce, která přiděluje každému národu jeho hlavní město. V tomto případě .

Následuje přesnější, ale stále neformální definice. Nechť A a B jsou množiny. Funkce od A do B je určena jakýmkoli spojením unikátního prvku B s každým prvkem A. množina A se nazývá doménou funkce; množina B se nazývá codomain.

V některých kontextech, jako je například lambda kalkul, může být pojem funkce považován spíše za primitivní než za definovaný z hlediska teorie množin.

Ve většině matematických oborů jsou pojmy mapování, mapování a transformace obvykle synonymem funkce. V některých kontextech však mohou být definovány s více specializovaným významem. Například v topologii je mapa někdy definována jako spojitá funkce.

Matematická definice funkce

Pro účely matematiky je nutná přesná definice.

Funkce je binární relace, f, s vlastností, že pro prvek x neexistuje více než jeden prvek y taková, že x souvisí s y. Tento jedinečně určený prvek y se označuje jako f(x).

Protože se používají dvě definice binárního vztahu, existují vlastně dvě definice funkce.

Nejjednodušší definice binárního vztahu je „Binární vztah je množina uspořádaných dvojic“. Podle této definice binární vztah označovaný „menší než“ obsahuje uspořádanou dvojici (2, 5), protože 2 je menší než 5.

Funkce je pak množina uspořádaných dvojic s vlastností, že pokud (a,b) a (a,c) jsou v množině, pak b se musí rovnat c. Funkce kvadratura tedy obsahuje dvojici (3, 9). Vztah odmocnina není funkcí, protože obsahuje jak dvojici (9, 3), tak dvojici (9, −3), a 3 se nerovná −3.

Doménou funkce je množina prvků x vyskytujících se jako první souřadnice v páru relace. Pokud x není v doméně f, pak f(x) není definováno.

Rozsah funkce je množina prvků y vyskytujících se jako druhá souřadnice v páru relace.

Někteří autoři požadují, aby definice binární relace specifikovala nejen uspořádané dvojice, ale také doménu a kodomain. Tito autoři definují binární relaci jako uspořádanou trojku , kde X a Y jsou množiny (nazývané doména a kodomain relace) a G je podmnožina kartézského součinu X a Y (G se nazývá graf relace). Funkce je pak binární relace s dodatečnou vlastností, že každý prvek X se vyskytuje přesně jednou jako první souřadnice prvku G.

Jako matematický termín byla „funkce“ vytvořena Gottfriedem Leibnizem v roce 1694, aby popsala veličinu související s křivkou, jako je sklon křivky v určitém bodě křivky. Funkce, které Leibniz zvažoval, se dnes nazývají diferencovatelné funkce a jsou typem funkce, se kterou se nematematici setkávají nejčastěji. U tohoto typu funkce lze hovořit o limitech a derivacích; obojí je měření výstupu nebo změna výstupu, protože závisí na vstupu nebo změně vstupu. Takové funkce jsou základem kalkulu.

Slovo funkce bylo později použito Leonhardem Eulerem během poloviny 18. století k popisu výrazu nebo vzorce zahrnujícího různé argumenty, např. f(x) = sin(x) + x3.

Během 19. století, matematici začali formalizovat všechny různé obory matematiky. Weierstrass obhajoval stavební kalkul na aritmetika spíše než na geometrii, což zvýhodnilo Eulerovu definici oproti Leibnizově (viz aritmetizace analýzy).

Zpočátku byla představa funkce spíše omezená. Joseph Fourier například tvrdil, že každá funkce má Fourierovu řadu, což by dnes žádný matematik netvrdil. Rozšířením definice funkcí byli matematici schopni studovat „podivné“ matematické objekty, jako jsou spojité funkce, které nejsou nikde diferencovatelné. Tyto funkce byly zpočátku považovány pouze za teoretické kuriozity a ještě na přelomu 20. století byly souhrnně nazývány „monstra“. Nicméně mocné techniky z funkční analýzy ukázaly, že tyto funkce jsou v jistém smyslu „běžnější“ než diferencovatelné funkce. Takové funkce byly od té doby aplikovány na modelování fyzikálních jevů, jako je Brownův pohyb.

Ke konci 19. století začali matematici formalizovat veškerou matematiku pomocí teorie množin a snažili se definovat každý matematický objekt jako množinu. Dirichlet a Lobachevsky nezávisle a téměř současně dali moderní „formální“ definici funkce.

Funkce je v této definici zvláštní případ vztahu, zejména funkce je vztah, ve kterém má každý první prvek jedinečný druhý prvek.

Pojem funkce jako pravidla pro výpočetní techniku, spíše než speciální druh vztahu, byl formalizován v matematické logice a teoretické informatice pomocí několika systémů, včetně lambda kalkulu, teorie rekurzivních funkcí a Turingova stroje.

Funkce se používají v každé kvantitativní vědě k modelování vztahů mezi všemi druhy fyzikálních veličin – zvláště když je jedna veličina zcela určena jinou veličinou. Lze tedy například použít funkci k popisu toho, jak teplota vody ovlivňuje její hustotu.

Funkce se také používají v informatice k modelování datových struktur a efektů algoritmů. Toto slovo se však používá také ve výpočetní technice ve velmi odlišném smyslu procedury nebo podprogramu; viz funkce (informatika).

Slovník funkcí

Vstupu do funkce se říká argument funkce. Pro každý argument x se odpovídající unikátní y v kodomainu nazývá hodnota funkce v x, nebo obraz x pod f. Obraz x lze zapsat jako f(x) nebo jako y. Psaná matematika někdy vynechává závorky kolem argumentu, tedy: sin x, ale kalkulačky a počítače vyžadují závorky kolem argumentu. V některých oborech matematiky, například v teorii automatů, se místo f(x) používá notace x f. Zápis fxy se někdy používá pro význam f(x) = y.

Graf funkce f je množina všech uspořádaných dvojic (x, f(x)), pro všechna x v doméně X. Pokud X a Y jsou podskupiny R, reálných čísel, pak se tato definice shoduje se známým smyslem „grafu“ jako obrázku nebo grafu funkce, přičemž uspořádané dvojice jsou kartézské souřadnice bodů.

Pojem obrazu může být rozšířen z obrazu bodu na obraz množiny. Pokud A je nějaká podmnožina domény, pak f(A) je podmnožina rozsahu skládající se ze všech obrazů prvků A. Říkáme, že f(A) je obraz A podle f.

Toto rozšíření je konzistentní, pokud žádná podmnožina domény není zároveň prvkem domény. Několik autorů píše f[A] místo f(A), aby zdůraznili rozdíl mezi oběma pojmy; několik dalších píše f` x místo f(x), a f``A místo f[A].

Všimněte si, že rozsah f je obrazem f(X) jeho domény a že rozsah f je podmnožinou jeho codomainu.

Předobraz (nebo inverzní obrázek) podmnožiny B kodomainu Y pod funkcí f je podmnožina domény X definovaná

Takže například předobraz {4, 9} pod kvadratickou funkcí je množina {-3,-2,+2,+3}.

Obecně platí, že předobraz singletonové množiny (množiny s přesně jedním prvkem) může obsahovat libovolný počet prvků. Například pokud f(x) = 7, pak předobraz {5} je prázdná množina, ale předobraz {7} je celá doména. Předobraz prvku v kodomainu je tedy podmnožinou domény. Obvyklá konvence o předobrazu prvku je, že f −1(b) znamená f −1({b}), tj. e.

Tři důležité druhy funkcí jsou injekce (nebo one-to-one funkce), které mají vlastnost, že pokud f(a) = f(b) pak a se musí rovnat b; domněnky (nebo na funkce), které mají vlastnost, že pro každé y v kodomainu je x v doméně taková, že f(x) = y; a bijekce, které jsou oba one-to-one a na. Tato nomenklatura byla zavedena Bourbakiho skupinou.

Při použití první definice výše uvedené funkce, protože kodomain není definován, musí být k „domněnce“ připojeno prohlášení o množině, na kterou se funkce mapuje. Například bychom mohli říci, že f mapuje množinu všech reálných čísel.

Složení funkcí dvou nebo více funkcí využívá výstup jedné funkce jako vstup jiné. Například f(x) = sin(x2) je složení funkce sinus a funkce kvadratura. Funkce f: X → Y a g: Y → Z lze složit tak, že nejprve aplikujeme f na argument x, abychom získali y = f(x) a poté aplikujeme g na y, abychom získali z = g(y).

Takto vytvořená složená funkce je označena g o f: X → Z definovaná (g o f)(x) = g(f(x)) pro všechna x v X. Všimněte si, že funkce vpravo působí jako první, funkce vlevo jako druhá.

Neformálně je inverzní funkce f taková, která „zruší“ účinek funkce f tím, že vezme každou hodnotu funkce f(x) do svého argumentu x. Funkce kvadratura je inverzní funkce nezáporné odmocninové funkce. Formálně, protože každá funkce f je relace, její inverzní funkce f−1 je jen inverzní relace. To znamená, že pokud f má doménu X, kodomain Y a graf G, inverzní funkce má doménu Y, kodomain X a graf G, inverzní funkce má doménu Y, kodomain X a graf

Například pokud graf f je G = {(1,5), (2,4), (3,5)}, pak graf f−1 je G−1 = {(5,1), (4,2), (5,3)}.

Vztah f−1 je funkce tehdy a jen tehdy, jestliže pro každé y v kodomu existuje přesně jeden argument x takový, že f(x) = y; jinými slovy, inverzní funkce f je funkce tehdy a jen tehdy, jestliže f je bijekce. V takovém případě f−1(f(x)) = x pro každé x v X a f(f−1(y)) = y pro každé y v Y. Někdy lze funkci upravit, často nahrazením domény podmnožinou domény a provedením odpovídajících změn v kodomu a grafu tak, aby modifikovaná funkce měla inverzní funkci, která je funkcí.

Například inverzní funkce y = sin(x), f(x) = arcsin (x), definovaná y = arcsin (x) tehdy a jen tehdy, když x = sin(y), není funkcí, protože její graf obsahuje jak uspořádanou dvojici (0, 0), tak uspořádanou dvojici (0, 2π). Ale pokud změníme doménu y y = sin(x) na -π/2 x π/2 a změníme kodomain na -1 y 1, pak výsledná funkce má inverzní funkci, označenou velkým písmenem A, f(x) = Arcsin (x).

To nefunguje s každou funkcí, nicméně, a inverzy jsou někdy obtížné nebo nemožné najít.

Je-li doména X konečná, funkce f může být definována jednoduchým tabulkováním všech argumentů x a jejich odpovídajících hodnot funkce f(x).

Obvykleji je funkce definována vzorcem nebo obecněji algoritmem – to znamená receptem, který říká, jak vypočítat hodnotu f(x) dané libovolné x v dané doméně. Obecněji může být funkce definována jakoukoli matematickou podmínkou vztahující se argument k odpovídající hodnotě. Existuje mnoho dalších způsobů definování funkcí. Příklady zahrnují rekurzi, algebraické nebo analytické uzavření, limity, analytické pokračování, nekonečné řady a jako řešení integrální a diferenciální rovnice.

Existuje technický smysl, ve kterém většinu matematických funkcí nelze definovat vůbec, žádným efektivním způsobem, explicitně nebo implicitně. Základní výsledek teorie vyčíslitelnosti říká, že existují funkce, které lze přesně definovat a které nelze vypočítat.

Funkce s více vstupy a výstupy

Funkce dvou (nebo více) proměnných

Pojem funkce může být rozšířen na objekt, který vezme kombinaci dvou (nebo více) hodnot argumentů k jedinému výsledku. Tento intuitivní pojem je formalizován funkcí, jejíž doménou je kartézský součin dvou nebo více množin.

Vezměme si například funkci násobení, která k jejich součinu přiřazuje dvě celá čísla: f(x, y) = x·y. Tuto funkci lze formálně definovat jako funkci s doménou Z×Z , množinou všech celočíselných párů; codomainem Z; a pro graf množinou všech párů ((x,y), x·y). Všimněte si, že první složkou každé takové dvojice je sama dvojice (celých čísel), zatímco druhá složka je jediné celé číslo.

Hodnota funkce dvojice (x,y) je f((x,y)). Je však zvykem vypustit jednu sadu závorek a považovat f(x,y) za funkci dvou proměnných, x a y.

Funkce s výstupem v produktové sadě

Koncepce může být ještě dále rozšířena o funkci, která také produkuje výstup, který je vyjádřen jako několik proměnných. Vezměme si například funkci mirror(x, y) = (y, x) s doménou R×R a kodomain R×R. Dvojice (y, x) je jediná hodnota v kodomainu viděná jako množina.

Známé binární operace aritmetiky, sčítání a násobení lze chápat jako funkce od Z×Z do Z. Tento pohled je zobecněn v abstraktní algebře, kde n-ární funkce slouží k modelování operací libovolných algebraických struktur. Například abstraktní skupina je definována jako množina X a funkce f od X×X do X, která splňuje určité vlastnosti.

Tradičně se sčítání a násobení zapisuje v infixové notaci: x+y a x×y místo +(x, y) a ×(x, y).

Tradičně se píše, že f: X → Y znamená f ∈ [X → Y]; to znamená, že f je funkce od X do Y. Tento výrok se někdy čte jako „f je funkce proměnné s hodnotou Y“. Často se neformálně píše „Let f: X → Y“ znamená „Let f je funkce od X do Y“.

Je funkce více než její graf?

Většina matematiků definuje binární vztah (a tedy i funkci) jako uspořádanou trojku (X, Y, G), kde X a Y jsou množiny domén a kodomainů a G je graf f. Nicméně někteří matematici definují vztah jako jednoduše množinu dvojic G, aniž by explicitně udávali doménu a co-doménu.

Každá definice má své výhody i nevýhody, ale pro většinu využití funkcí v matematice je uspokojivá každá z nich. Explicitní doména a kodomain jsou důležité především ve formálních souvislostech, jako je teorie kategorií.

Dílčí funkce a multifunkce

Podmínku pro binární vztah f od X k Y jako funkci lze rozdělit na dvě podmínky:

V některých kontextech může být vztah, který splňuje podmínku (1), ale ne nutně (2), nazýván multihodnotovou funkcí; a vztah, který splňuje podmínku (2), ale ne nutně (1), může být nazýván parciální funkcí.

Existuje mnoho dalších speciálních tříd funkcí, které jsou důležité pro konkrétní obory matematiky nebo konkrétní aplikace. Zde je částečný seznam:

Omezení a prodloužení

Neformálně je omezení funkce f výsledkem ořezání jejího grafu na menší doménu.

Pokud g je nějaké omezení f, říkáme, že f je rozšíření g.

Pokud f: X → R a g: X → R jsou funkce se společnou doménou X a codomain je prstenec R, pak lze definovat funkci součtu f + g: X → R a funkci součinu f × g: X → R takto:

Tím se množina všech takových funkcí mění v prstenec. Binární operace v tomto prstenci mají jako doménově uspořádané dvojice funkcí a jako kodomainové funkce. To je příklad stoupání v abstrakci k funkcím složitějších typů.

Tím, že některé jiné algebraické struktury A na místě R, můžeme proměnit množinu všech funkcí z X do A do algebraické struktury stejného typu, a to analogickým způsobem.

Vypočítatelné a nevypočítatelné funkce

Počet vypočítatelných funkcí od celých čísel k celým číslům je spočitatelný, protože počet možných algoritmů je. Počet všech funkcí od celých čísel k celým číslům je vyšší: stejný jako kardinalita reálných čísel. Tento argument ukazuje, že existují funkce od celých čísel k celým číslům, které nejsou vypočitatelné. Příklady nepočitatelných funkcí najdete v článcích o haltingovém problému a Riceově větě.

Lambda kalkul poskytuje výkonnou a flexibilní syntaxi pro kombinování funkcí několika proměnných. Zejména kompozice se stává zvláštním případem substituce proměnných; a n-ární funkce mohou být redukovány na funkce s menším počtem argumentů procesem zvaným currying.

Funkce v teorii kategorií

Pojem funkce může být zobecněn na pojem morfismus v kontextu teorie kategorií. Kategorie je kolekce objektů a morfismů. Kolekce objektů je zcela libovolná. Morfismy jsou vztahy mezi objekty. Každý morfismus je uspořádaná trojice (X, Y, f), kde X je objekt zvaný doména, Y je objekt zvaný kodomain a f spojuje X s Y. Existuje několik omezení morfismů, které zaručují, že jsou analogické s funkcemi (viz článek o kategoriích). Nicméně, protože teorie kategorií je navržena tak, aby pracovala s objekty, které nemusí být množiny nebo se nemusí chovat jako množiny, morfismy nejsou stejné jako funkce.

V konkrétní kategorii je každý morfismus spojen se základní funkcí.